پایان نامه حل عددي معادلات ديفرانسيل مرتبه دوم با مشخصات عددي دقيق تر
پيشگفتار
معادلات ديفرانسيل در تمام زمينه هاي علمي از اهميت بسيار زيادي برخوردارند به خصوص معادلات ديفرانسيلي كه براي آنها روشهاي عددي مطرح شده است . در حالت كلي معادلات ديفرانسيل مانند شكل ضمني زيركمتر مورد توجه قرار مي گيرند
در اين پايان نامه در طي 3 فصل به ارائه روشهاي حل عددي معادلات ديفرانسيل مرتبه دوم اشتقاق عددي دقيقتر ميپردازيم .
در فصل اول به معرفي معادلات ديفرانسيل مرتبه اول و دوم و معرفي حل دستگاههاي معادلات خطي و روشهاي مشتقگيري عدد ميپردازيم .
در فصل دوم به معرفي مشتقات اول و دوم با خطاي و و كار برد مشتقات عددي در حل معادلات ديفرانسيل مرتبه دوم و الگوريتم روش مي پردازيم .
و در فصل به سوم به ارائه نتايج عددي و نتيجه گيري مي پردازيم .
فصل اول
مقدمه
معمولا يكي از ابزارهائي كه ارتباط بين رياضيات محض و علوم فيزيكي و مهندسي را براي دانشجويان ميسر ميسازد درس معادلات ديفرانسيل است. در اكثر شاخههاي علوم مخصوصا علوم كاربردي مانند رشته هاي مهندسي، فيزيك، اقتصاد، شيمي و غيره گاهي به مسائلي بر ميخوريم كه وقتي آنها را بصورت يك الگوي رياضي تبديل ميكنيم معدلهاي حاصل ميشود كه يك تابع مجهول و مشتقات تابع نسبت به متغيرهاي مستقل ميباشد. اينگونه معادلات را معادلات ديفرانسيل ميگوييم. اهميت اينگونه معادلات از آنجا ناشي ميشود كه مسائل بهينه سازي مانند بدست آوردن تابع مينيمم هزينه، ماكزيمم سود، نقطه تعادل عرضه و تقاضا و غيره عموما به معادلات ديفرانسيل ختم ميشوند.
لذا ارائه روشهايي براي حل معادلات ديفرانسيل كه به كمك آن بتوان به تابع مجهول رسيد از اهميت ويژهاي برخوردار است.
1-1 معرفي معادلات ديفرانسيل مرتبه اول و دوم
يك معادله ديفرانسيل عبارت است از معادله كه در آن F تابعي از n+2 متغير ميباشد. x يك متغير مستقل و و. .. و به ترتيب تابع مجهول و مشتقات آن ميباشند. بالاترين مرتبه مشتق موجود در معادله ديفرانسيل فوق را مرتبه آن معادله ديفرانسيل ميناميم.
معادلات ديفرانسيل مرتبه اول
يك معادله ديفرانسيل مرتبه اول بصورت تابعي از متغيرهاي ميباشد كه در رابطه صدق كند. اگر در اين رابطه بجاي مقدار را جايگزين نمائيم و سپس آنرا در ضرب كنيم آنگاه يك صورت ديگري از معادله ديفرانسيل مرتبه اول بصورت زير حاصل ميشود :
كه آنرا فرم ديفرانسيلي ميگوييم. شايد انتخاب اين صورت از معادلات ديفرانسيل مرتبه اول مناسبتر باشد. زيرا ميتوانيم براساس اينكه توابع و چگونه باشند و يا چه شرايطي داشته باشند بهتر به معادلات متنوعي از مرتبه اول دست يابيم و بعلاوه ارائه روشهاي حل آسانتر بيان ميشود. حال به تقسيم بندي كلي معادلات مرتبه اول ميپردازيم.
معادلات مرتبه اول را در حالت كلي به چهار گروه اساسي زير تقسيم ميكنيم.
الف) معادلات تفكيك پذير يا جداشدني
ب) معادلات همگن
ج) معادلات كامل
د) معادلات خطي
الف) معادلات تفكيك پذير يا جداشدني
فرض كنيم يك معادله ديفرانسيل مرتبه اول باشد. اگر توابع و بگونهاي باشند كه يا فقط بر حسب متغير و يا بر حسب متغير باشند آنگاه معادله خاص را يك معادله تفكيك پذير ميگوييم.
ب) معادلات همگن
تابع دو متغيره را همگن از درجه n گوييم هرگاه به ازاي هر مقدار حقيقي داشته باشيم
ج) معادلات كامل
معادله را كامل گوييم هرگاه داشته باشيم
( منظور از مشتق نسبي تابع نسبت به و نيز مشتق نسبي تابع نسبت به ميباشد.
د) معادلات خطي
فرم كلي يك معادله ديفرانسيل خطي مرتبه n بصورت
مي باشد. لذا براي n=1 فرم كلي معادلات خطي مرتبه اول به صورت
مي باشد كه در آن . با تقسيم طرفين معادله بر نتيجه ميشود
فرض كنيم و در اين صورت معادلات خطي مرتبه اول را ميتوان به صورت
نيز نمايش داد.
معادلات خاص مرتبه اول
1ـ معادلات برنولي
نمايش كلي اين معادله بصورت زير ميباشد :
كه در آن توابع توابعي از هستند و n عدد دلخواهي است كه ممكن است مثبت يا منفي، صحيح يا غير صحيح باشد. توجه داريم كه اگر يا آنگاه معادلات خطي يا تفكيك پذير حاصل ميشوند لذا فرض ميكنيم و باشد.
2ـ معادلات كلرو
يك معادله ديفرانسيل به صورت را كه در آن f تابعي دلخواه است يك معادله كلرو ناميده ميشود.
3ـمعادلات لاگرانژ
يك حالت كليتر از معادله كلرو معادله لاگرانژ ميباشد كه به صورت زير نمايش داده ميشود كه در آن توابع توابع متشق پذير دلخواه ميباشند. توجه داريم كه اگر اختيار شود همان معادله كلرو حاصل ميشود.
4ـ معادلات به صورت
اينگونه معادلات شامل و تنها دو مشتق متوالي از ميباشند. با يك تغيير ساده ميتوان آنها را به يك معادله مرتبه اول تبديل نمود.
فرض كنيد در اين صورت و با جايگذاري آنها معادله مرتبه اول حاصل ميشود. با حل اين معادله مرتبه اول و سپس n-1 بار انتگرالگيري جواب عمومي بدست خواهد آمد.
5ـ معادلات به صورت
معادلات اين گروه را معادلات فاقد متغير نيز مينامند. اينگونه معادلات را با يك تغيير متغير ساده به يك معادله مرتبه اول تبديل ميكنيم
نقد و بررسیها
هنوز بررسیای ثبت نشده است.