پایان نامه شبیه سازی معادله جابجایی – نفوذ بوسیله روشهای تحلیلی و عددی
فهرست مطالب
عنوان | صفحه |
چکیده ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. | 1 |
فصل اول: مقدمه | 3 |
فصل دوم : مفاهیم اساسی ریاضی | 6 |
1-2 عملیات بنیادین دیفرانسیل ……………………………………………………………………………………………………………………………….. | 7 |
1-1-2 مشتقات جزئی ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. | 7 |
2-2 معادلات بنیادین دیفرانسیل ……………………………………………………………………………………………………………………………… | 8 |
1-2-2 شرایط اولیه و شرایط مرزی ………………………………………………………………………………………………………………………… | 8 |
3-2 محاسبات تفاضلات محدود ……………………………………………………………………………………………………………………………….. | 9 |
1-3-2 عملگرهای تفاضلات محدود ………………………………………………………………………………………………………………………… | 10 |
2-3-2 ارتباط بین مشتق و عملگرهای تفاضل محدود ……………………………………………………………………………………………. | 14 |
فصل سوم: معادله جابجایی – نفوذ | 19 |
1-3 فرمولاسیون ومدل سازی مسائل در مهندسی شیمی ………………………………………………………………………………………… | 20 |
1-1-3 مراحل مختلف فرمولاسیون مسائل ………………………………………………………………………………………………………………… | 20 |
2-3 معادله پیوستگی در مختصات گوناگون ………………………………………………………………………………………………………………. | 25 |
1-2-3 نحوه بدست آوردن معادله جابجایی نفوذ ………………………………………………………………………………………………………. | 25 |
3-3 شرایط مرزی و اولیه …………………………………………………………………………………………………………………………………………… | 28 |
4-3 معادله بدون بعد جابجایی – نفوذ ……………………………………………………………………………………………………………………… | 32 |
1-4-3 شرایط بدون بعد مرزی و اولیه ……………………………………………………………………………………………………………………… | 33 |
5- 3 جواب دقیق معادله جابجایی – نفوذ با استفاده از روشهای تحلیلی …………………………………………………………….. | 33 |
1-5-3 محدودیتها و شرایط استفاده از روش جداسازی متغیرها ………………………………………………………………………….. | 34 |
2-5-3 روش تبدیل لاپلاس ……………………………………………………………………………………………………………………………………… | 36 |
3-5-3 حل معادله جابجایی – نفوذ با استفاده از روش تبدیل لاپلاس …………………………………………………………………… | 38 |
فصل چهارم: حل معادله جابجایی – نفوذ با استفاده از روش اختلافات محدود | 41 |
1- 4 روشهای حل عددی ………………………………………………………………………………………………………………………………………… | 41 |
1-1-4 روشهای تفاضلات محدود …………………………………………………………………………………………………………………………… | 42 |
1-1-1-4 روش صریح – روش پسرو برای مشتق اول و روش مرکزی برای مشتق دوم …………………………………………. | 43 |
2-1-1-4 روش صریح – روش مرکزی برای مشتق اول و روش مرکزی برای مشتق دوم ……………………………………… | 44 |
3-1-1-4 روش ضمنی – روش پسرو برای مشتق اول و روش مرکزی برای مشتق دوم ……………………………………….. | 45 |
2-4 فرمولاسیون صریح و ضمنی روش تفاضلات محدود ……………………………………………………………………………………….. | 46 |
1-2-4 فرمولاسیون صریح ………………………………………………………………………………………………………………………………………… | 46 |
2-2-4 فرمولاسیون ضمنی ……………………………………………………………………………………………………………………………………….. | 47 |
3- 4 پدیدههای محاسباتی معادله پراکندگی و پخش …………………………………………………………………………………………….. | 48 |
1-3-4 پدیده نوسان …………………………………………………………………………………………………………………………………………………. | 48 |
2-3-4 پدیده انحراف ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… | 48 |
3-3-4 پدیده ضریب پراکندگی عددی …………………………………………………………………………………………………………………….. | 48 |
فصل پنجم: بحث و گفتگو | 49 |
1- 5بحث و نتیجه گیری ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. | 50 |
1-1-5 روش صریح پسرو …………………………………………………………………………………………………………………………………………… | 50 |
2-1- 5 روش صریح مرکزی ……………………………………………………………………………………………………………………………………… | 54 |
3-1-5 روش ضمنی پسرو ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. | 58 |
فصل ششم : نتیجه گیری و پیشنهادات | 61 |
1-6 نتیجه گیری ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. | 62 |
2-6 پیشنهادات ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… | 64 |
پیوست ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… | 65 |
ضمیمه …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. | 69 |
فهرست اشکال
عنوان | صفحه |
شکل 2-1 مشتق اول وتقریب تفاضلات پیشرو آن ………………………………………………………………………………………………… | 15 |
شکل 2-2 مشتق اول وتقریب تفاضلات پسرو آن ………………………………………………………………………………………………….. | 16 |
شکل 2-3 مشتق اول وتقریب تفاضلات مرکزی آن ………………………………………………………………………………………………. | 18 |
شکل 3-1 نحوه توزیع سیال تزریقی در یک سیستم خطی به صورت امتزاج پذیر …………………………………….. | 24 |
شکل3-2 حجم .کنترل …………………………………………………………………………………………………………………………………………… | 25 |
شکل 3-3 انتقال حرارت یک بعدی در صفحه جامد به ضخامت واحد …………………………………………………………. | 29 |
شکل 3-4 صفحه جامد با انتقال حرارت یک بعدی که در یک سمت عایق بندی است …………………………….. | 30 |
شکل 3-5 شرط مرزی نوع سوم در انتقال حرارت جابجایی سطح یک جامد با یک سیال ………………………. | 31 |
شکل 3-6 مراحل حل معادلات دیفرانسیل پارهای با استفاده از روش تبدیل لاپلاس ………………………………….. | 37 |
شکل 4-1 نمایش شماتیک شبکه و سطوح زمانی برای محاسبه غلظت در گرهi به روش صریح ……………… | 47 |
شکل 4-2 نمایش شماتیک شبکه و سطوح زمانی برای محاسبه غلظت در گرهi به روش ضمنی …………… | 47 |
شکل 4-3 مشکلات محاسبات عددی ……………………………………………………………………………………………………………….. | 48 |
شکل 5-1 روش صریح پسرو برای مقادیر0.001 ∆X=0.02 , D= ∆T = 0.01 , …………………………….. | 50 |
شکل 5-2روش صریح پسرو برای مقادیر0.005 ∆X=0.02 , D= ∆T = 0.01 , ……………………………… | 51 |
شکل 5-3 روش صریح پسرو برای مقادیر0. 1 ∆X=0.02 , D= ∆T = 0.005 , ………………………………. | 51 |
شکل 5-4 روش صریح پسرو برای مقادیر0.001 ∆X=0.04 , D= ∆T = 0.01………………………………….. | 52 |
شکل 5-5 روش صریح پسرو برای مقادیر0.001 ∆X=0.02 , D= ∆T = 0.02, ……………………………….. | 52 |
شکل 5-6 روش صریح پسرو برای مقادیر0.001 ∆X=0.01 , D= ∆T = 0.01 , ………………………………. | 53 |
شکل 5-7 روش صریح مرکزی برای مقادیر0.001 ∆X=0.02 , D= ∆T = 0.01 , …………………………. | 54 |
شکل 5-8 روش صریح مرکزی برای مقادیر0.005 ∆X=0.02 , D= ∆T = 0.01 , ………………………….. | 55 |
شکل 5-9روش صریح مرکزی برای مقادیر0. 1 ∆X=0.02 , D= ∆T = 0.005 , …………………………….. | 55 |
شکل 5-10 روش صریح مرکزی برای مقادیر0. 1 ∆X=0.004 , D= ∆T = 0.01 , …………………………. | 56 |
شکل 5-11 روش صریح مرکزی برای مقادیر0.001 ∆X=0.02 , D= ∆T = 0.02 , ………………………… | 56 |
شکل 5-12روش صریح پسرو برای مقادیر0.001 ∆X=0.01 , D= ∆T = 0.02 , …………………………….. | 57 |
شکل 5-13روش ضمنی برای مقادیر0.001 ∆X=0.02 , D= ∆T = 0.01 , ……………………………………… | 58 |
شکل 5-14روش ضمنی برای مقادیر0.005 ∆X=0.02 , D= ∆T = 0.01 , ……………………………………… | 58 |
شکل 5-15روش ضمنی برای مقادیر0. 1 ∆X=0.02 , D= ∆T = 0.005 , ……………………………………….. | 59 |
شکل 5-16روش ضمنی برای مقادیر0. 1 ∆X=0.004 , D= ∆T = 0.01 , ……………………………………….. | 59 |
شکل 5-17روش ضمنی برای مقادیر0.001 ∆X=0.02 , D= ∆T = 0.02 , ……………………………………… | 60 |
شکل 5-18روش ضمنی برای مقادیر0.001 ∆X=0.01 , D= ∆T = 0.02 , ……………………………………… | 60 |
چکیده
شبیه سازی عددی برای جریان یک بعدی سیال درون یک لوله و تعیین میزان غلظت سیال در مکانها و زمانهای مختلف با استفاده از روشهای عددی و تحلیلی هدف عمده و اصلی این پروژه میباشد. این مطالعه از دو بخش تشکیل میشود که شامل قسمتهای زیر میباشد:
- توسعه مدل تحلیلی برای مسئله یاد شده
- مدلسازی عددی مسئله
روش حل تحلیلی این مسئله بدین صورت است که ابتدا معادله حاکم ( معادله جابجایی – نفوذ ) با توجه به شرایط مسئله به دست میآید. سپس معادله را با استفاده از شرایط مرزی و شرط اولیه حل میکنیم. این جواب به عنوان جواب دقیق مسئله در نظر گرفته میشود و آنالیز مسئله و شرط تطابق آن در مقایسه با این جواب بررسی میشود.
برای حل این مسئله به روش عددی، معادله حاکم را با استفاده از روشهای عددی موجود حل میکنند. همانگونه که گفته شد جواب تحلیلی به عنوان جواب دقیق منظور شده و اعتبار و درستی جواب عددی را درقیاس با آن بررسی مینمایند.
معادلات حاکم بر جریان سیال و تعیین غلظت آن در نقاط مختلف، معادلات دیفرانسیل پارهای غیر خطی هستند. این معادلات بسیار پیچیده بوده و کاربرد آنها در مواردی که شرایط مرزی خاصی وجود داشته باشد بسیار دشوار خواهد بود. حل این معادلات دیفرانسیل با استفاده از روش تحلیلی به جز در موارد خاص و ساده امکان پذیر نمیباشد.
به صورت کلی، روش عددی تنها روشی است که در اکثر مسائل مهندسی میتوان آن را به کار گرفت و جوابی برای معادله دیفرانسیل جزئی به دست آورد.
مدلهای عددی از کامپیوترهای بسیار قوی و توانمند برای حل معادلات ریاضی که پدیدههای فیزیکی را توضیح میدهند، بهره میبرند تا با استفاده از آن، جوابی عددی برای رفتار سیال بهدست آورند.
نتایج فرآیند فرمولاسیون مجموعهای از معادلات غیر خطی میباشد که نحوه رفتار سیال در یک سیستم خطی را کاملاً توضیح میدهد. معادلاتی که در خلال فرآیند فرمولاسیون بهدست میآید، اگر به صورت تحلیلی (دقیق) حل شود، میزان غلظت را به صورت تابعی از زمان و مکان به دست میدهد. به خاطر ماهیت غیر خطی این گونه معادلات دیفرانسیل، از روش تحلیلی برای حل این معادله نمیتوان استفاده کرد و برای حل این معادلات باید از روشهای عددی ( تقریبی ) استفاده کرد. در قیاس با روشهای تحلیلی، جوابهای عددی مقدار غلظت را فقط در نقاط منفصلی به دست میدهد. گسسته سازی فرآیند تبدیل معادلات دیفرانسیل پارهای به معادلات جبری میباشد. به صورت کلی میتوان گفت که روشهای تحلیلی ارائه کننده جواب دقیق برای معادله دیفرانسیل ساده شده میباشد در حالیکه روشهای عددی، جوابهایی تقریبی را برای مسئله ارائه میکند.
در این پروژه از روش تفاضلات محدود استفاده شده است تا معادلات دیفرانسیل پارهای و پیوسته به صورت گسسته در آید و از آن برای حل عددی معادلات استفاده شود.
فصل اول
مقدمه
نیاز به شبیه سازی در مهندسی شیمی از آنجا ناشی میشود که به دست آوردن بسیاری از پارامترها از جمله غلظت و … در صنایع مهندسی شیمی بالاخص صنعت نفت و گاز تحت شرایط عملیاتی گوناگون نیاز به ابزار پیشرفتهای دارد و اغلب بسیار دشوار میباشد.
مدلهای عددی از کامپیوترهای بسیار توانمند برای حل نمودن معادلات ریاضی استفاده میکنند که این معادلات بیانگر رفتار فیزیکی یک فرآیند مهندسی شیمی میباشند. نتیجه یک فرآیند فرمولاسیون مجموعهای از معادلات دیفرانسیل پارهای غیرخطی میباشد که جریان سیال را توضیح میدهند. اگر بتوان معادلات دیفرانسیلی که در خلال فرآیند فرمولاسیون بهدست میآیند را به صورت تحلیلی (دقیق) حل نمود، توابعی پیوسته بهدست میآید که میزان غلظت را به صورت تابعی پیوسته از زمان و مکان به دست میدهد. در اکثر مواقع به دلیل ماهیت غیرخطی این معادلات دیفرانسیل، از روشهای تحلیلی نمیتوان استفاده نمود و در نتیجه باید با استفاده از روشهای عددی جوابی (تقریبی) مناسب برای مسئله به دست آورد. بر خلاف حل تحلیلی مسئله که در مجموعهای از نقاط پیوسته جواب را به دست میدهد، حل عددی مقادیر غلظت را در نقاط گسسته ارائه مینماید. به فرآیند تبدیل یک معادله دیفرانسیل پارهای به معادلات جبری عملیات گسسته سازی گویند. در حالت کلی، روشهای تحلیلی جوابی دقیق را برای معادله دیفرانسیل پارهای ساده شده ارائه مینمایند حال آنکه روشهای عددی جوابی تقریبی را برای این مسئله به دست میدهند. هنگامیکه معادلات شبیه ساز به صورت خطی در آورده شدند، میتوان یکی از روشهای موجود برای حل معادلات خطی را برای حل این معادلات به کار برد. این روشها به دو دسته تقسیم میشوند: روشهای مستقیم و روشهای تکراری. در روشهای مستقیم پس از عملیات ریاضی معین، جوابی دقیق به دست میآید. تمام روشهای مستقیمی که در این مقاله مورد بررسی قرار گرفته است نمونههای از روش حذفی گاوس میباشند. در روشهای تکراری یک حدس اولیه برای جواب در نظر گرفته شده و این فرض اولیه به صورت متوالی بهبود خواهد یافت تا اینکه این جواب به حد کافی با جواب دقیق همخوانی داشته باشد. تعداد عملیات ریاضی مورد نیاز برای دست یافتن به این جواب تقریبی ثابت نبوده بلکه وابسته به حدس اولیه و سیستم معادلات میباشد.
روشهای عددی بسیاری وجود دارد که میتوان از آنها برای حل کردن معادلات جریان سیال به طریق گسسته سازی بهره برد که رایج ترین شیوه برای حل این معادلات در صنایع مرتبط با مهندسی شیمی روش تفاضلات محدود میباشد. روش گسسته سازی منجر به پیدایش سیستمی از معادلات جبری میشود. این معادلات را در حالت کلی نمیتوان با روشهای معمول جبری حل کرد و ابتدا باید آنها را به معادلاتی خطی تبدیل کرد تا بتوان با روشهای جبری جوابی مناسب به دست آورد.
برای انجام این منظور، ابتدا در فصل دوم مقدمهای از اصول ریاضی و محاسبات تفاضلات محدود ارائه شده است که در واقع به عنوان اسکلت بندی شبیه سازی مهندسی شیمی تلقی میشود. در این فصل همچنین رابطهای محکم بین استدلال ریاضی و مفاهیم مهندسی شیمی ایجاد میشود.
جواب تحلیلی این معادله ( به عنوان جواب دقیق ) با روش تبدیلات لاپلاس به دست آمده است.
در فصل چهارم اصول به دست آوردن تفاضلات محدود برای جریان سیال تراکم ناپذیر یک بعدی ارائه شده است.
فصل پنجم به بحث و بررسی جواب های عددی مسئله پرداخته است و حساسیت جواب های عددی نسبت به طول گام زمان و مکان مورد بحث قرار گرفته و روش های ضمنی و صریح مقایسه شده اند و در نهایت، اعتبار روش های عددی در نتیجه قیاس آنها با روش تحلیلی به بحث گذاشته شده است.
فصل ششم نتایج به دست آمده از این پروژه را مورد بحث قرار داده و در ادامه پیشنهاداتی را ارائه نموده است.
نهایتاً در فصل آخر الگوریتم برنامه نویسی با استفاده از نرم افزار مطلب به روش عددی ارائه شده است.
نقد و بررسیها
هنوز بررسیای ثبت نشده است.